Matemática básica Ejemplos

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{a^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{a^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a - 2}{a + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{a - 2}{a + 3}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(a - 2) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a - 2) (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(a - 2) (a - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (a - 3) - 2 (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 2 (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot - 3 - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a^{2} - 3 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 2 a + 6 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.2.2

Resta $2 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 5 a + 6 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.3

Suma $- 5 a$ y $10 a$ .

$\frac{a^{2} + 5 a + 6}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 4.4

Factoriza $a^{2} + 5 a + 6$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a + 2) (a + 3)}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $a + 3$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) (a + 3)}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 2}{a - 3}$